Una de las mayores dificultades a las que se enfrentan los estudiantes al abordar el cálculo diferencial corresponde al dominio del álgebra básica, esto conlleva a que muchas veces no entiendan muy bien los diversos casos de factorización que se pueden presentar y que son muy importantes a la hora de afrontar otros temas más avanzados.
La factorización es una herramienta poderosa, que bien vale la pena dominar, y para ello es importante conocer y aprender muy bien los casos que se pueden presentar.Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales.
De acuerdo al tipo, se clasifican en:
* Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
*Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
* Polinomios
1. Factor común
2. Triángulo de Pascal como guía para factorizar
A continuación encontrará un resumen que muestra mediante ejemplos 10 casos de factorización que si los entendemos y practicamos, de seguro se nos facilitarán mucho las cosas de aquí en adelante.
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio, o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común trinomio
Factor común por agrupación de términos:
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
La factorización es una herramienta poderosa, que bien vale la pena dominar, y para ello es importante conocer y aprender muy bien los casos que se pueden presentar.Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales.
De acuerdo al tipo, se clasifican en:
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
*Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
* Polinomios
1. Factor común
2. Triángulo de Pascal como guía para factorizar
A continuación encontrará un resumen que muestra mediante ejemplos 10 casos de factorización que si los entendemos y practicamos, de seguro se nos facilitarán mucho las cosas de aquí en adelante.
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio, o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común por agrupación de términos:
y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Video Explicativo:
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)
Video Explicativo
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Video Explicativo
Video Complementario
Video Explicativo
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
Video Explicativo
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.
no es un trinomio cuadrado perfecto.
Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.
Ejemplo:
Para que , sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2 Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2, pues 
, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2 Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2, pues Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y después, como una diferencia de cuadrados.
Video Explicativo
Video Complementario
Caso VI - Trinomio de la forma
x^2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Video Explicativo
Caso VII - Trinomio de la Forma
ax^2+bx+c
ax^2+bx+c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
Queda así terminada la factorización:
Video Explicativo
De los productos notables tenemos:
En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:
Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:
* Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.
* Dos de sus términos, el 1º 
y el 4º
deben poseer raíz cúbica exacta.
y el 4º deben poseer raíz cúbica exacta.
* El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino.
* El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino.
* El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).
* Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades.
* si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades.
Ejemplo explicativo:
Video Explicativo
Caso IX Suma o Diferencia de Cubos Perfectos
Recordamos de cocientes notables que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:
De donde se deducen las siguientes reglas:
* La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
* La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
* La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Video Explicativo
Caso X Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales
De los cocientes notables recordamos que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:
Y esto es valido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.
Así también:
Al despejarlo nos queda:
Que es valido para cualquier suma de dos potencias iguales impares únicamente(con pares no funciona).
Si tomamos también:
Al despejarlo nos queda:
Que es valido para cualquier diferencia de dos potencias iguales pares únicamente (con impares no funciona).
Ejemplo:
Video Explicativo
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